复平面计算本质和傅里叶变换

Author：张一极

date：2022年11月12日11:26:15

复平面

先验知识：

0.欧拉公式：

theta作为角度，可以换成跟时间有关的其他变量，比如$e^{i\omega t}$$e^{i \omega t}$，可以表示一个圆心角随时间变化情况。

1.复数乘法：

一般式：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2$$(a+b i)(c+d i)=a c+a d i+b c i+b d i^2$

2.根据欧拉公式复数乘法的极坐标系写法：

二者相乘得到：

即，复数极坐标中相乘可以表示为：幅角相加，模长相乘，所以这时候我们在推广到，单位复数的平方，即$i\cdot i=-1$$i\cdot i = -1$,其实就是因为，幅度相加，每一个i都在虚轴上一个单位长，一个i旋转90，两个i就旋转到180度，即-1。

theta为幅角，i幅角为90:

欧拉公式

以及：

用复数$e^{i\omega t}$$e^{i \omega t}$，表达旋转，或表达周期函数，可以表达任意频率，以及方向的周期函数。

这时候的傅立叶变换

定义（来自维基百科）：Fourier transform integral

其中，$f(x)$$f(x)$为模长，$e^{2\pi it}$$e^{2πit}$ 表示了一个点，以每秒一圈的频率，即频率为1绕着圆心旋转，那么$e^{2\pi it\cdot \xi x}$$e^{2πit\cdot ξx}$就代表了一个点，顺时针旋转，频率为ξ，$x$$x$可以认为是时间，或者任意其他的变换量，它影响着总体旋转的点位，$e^{-2\pi it\cdot \xi x}$$e^{-2πit\cdot ξx}$则表示一个频率为ξ，逆时针旋转的点，结合欧拉公式中，$e^{i\omega t}$$e^{i \omega t}$可以认为，其中的$\omega =2\pi \xi$$\omega = 2\pi \xi$。

傅里叶变换的本质是在说明，每一个复杂函数$f(\xi )$$f(ξ)$，都可以被n个$f(x)e^{-i2\pi \xi x},\mathrm{\forall }\xi \in \mathbb{R}$$f(x) e^{-i 2 \pi \xi x} , \quad \forall \xi \in \mathbb{R}$组成，其表现形式即，把每一个分子做积分，从最小（负无穷）积到最大（正无穷）。