复平面计算本质和傅里叶变换

Author:张一极

date:2022年11月12日11:26:15

复平面

先验知识:

0.欧拉公式:

(1)eiθ=cosθ+isinθ

theta作为角度,可以换成跟时间有关的其他变量,比如eiωt,可以表示一个圆心角随时间变化情况。

1.复数乘法:

一般式:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2

2.根据欧拉公式复数乘法的极坐标系写法:

(2)a+bi=r1(cosθ1+isinθ1)c+di=r2(cosθ2+isinθ2)

二者相乘得到:

(3)r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

即,复数极坐标中相乘可以表示为:幅角相加,模长相乘,所以这时候我们在推广到,单位复数的平方,即ii=1,其实就是因为,幅度相加,每一个i都在虚轴上一个单位长,一个i旋转90,两个i就旋转到180度,即-1。

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theta为幅角,i幅角为90:

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欧拉公式

(4)eiπ=limn(1+iπn)n=1

以及:

(5)eiθ=limn(1+iθn)n

用复数eiωt,表达旋转,或表达周期函数,可以表达任意频率,以及方向的周期函数。

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这时候的傅立叶变换

定义(来自维基百科):Fourier transform integral

(6)f^(ξ)=f(x)ei2πξxdx,ξR

其中,f(x)为模长,e2πit 表示了一个点,以每秒一圈的频率,即频率为1绕着圆心旋转,那么e2πitξx就代表了一个点,顺时针旋转,频率为ξ,x可以认为是时间,或者任意其他的变换量,它影响着总体旋转的点位,e2πitξx则表示一个频率为ξ,逆时针旋转的点,结合欧拉公式中,eiωt可以认为,其中的ω=2πξ

傅里叶变换的本质是在说明,每一个复杂函数f(ξ),都可以被n个f(x)ei2πξx,ξR组成,其表现形式即,把每一个分子做积分,从最小(负无穷)积到最大(正无穷)。