Author : 张一极
11:35-20201101
如果有:
则称为齐次函数
其对应的微分方程:
称为齐次微分方程
令,解 :
y=ux代回
此时变量分离出去以后,就只剩下u和x的不定变量:
可进行两侧积分, 解出方程后, 代回
可解,可以说是很精妙了
如下题:
将方程化为的形式,可得
化y=ux :
把x=1,y=u代入 得到:
同时积分 :
代入
得到隐式通解
总结:
只要是函数中划出以后出现仍然混有xy项目同存在一侧的情况,即刻将xy组合为u的形式,,按照,化为变量可分离型,右侧的xy会变成只含有1和y的形式,此时可以变量分离,分离后两侧积分,然后回代,,即可得到一个隐式通解.
Bernoulli方程形如:
当n取0和1的时候,即线性方程
n不取0&1,两侧同除以,得到
令
代入①
关于u的线性方程,按照通解公式可解,而后代回
解出通解
把或者凑出来,本题凑出结果是:
为了化为 Bernoulli方程的标准形式
发现无法化为x作为自变量的Bernoulli形式
另辟蹊径,尝试将整体分子分母倒置:
倒置后对应的标准式应为,(x与y互换)
提取
整理
对应 Bernoulli方程,其中
按照伯努利方程的路数
两侧同除以后面的
令
(此时x作为y的函数出现,应符合复合求导法则)
代回
化为一阶微分方程形式,使用通解公式:
对于形如
其通解为
此处补充通解公式推导过程:
形如
同乘以
取回导数原函数
两侧积分
以上...
使用通解公式得
解:
隐式解(y>0)
End
21:56-20201101
晚安