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高等数学计划·0314 📖

Author：张一极

数列极限梳理

通过一道分析，我们来切入性的获取数列极限的意义：

2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \cdots, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}, \cdots

$x_{n}=\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}=1+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ，构造了一个新的等式

$\left|x_{n}-1\right|=\left|(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}$ $1/n$ $x_n$ $x_n$ 是无限接近于1，于是我们定义为，数列极限就是1，一个常数，或称数列收敛于1。

如果没有这个值，找不到他的极限，那么我们称为这个数列没有极限，或者这样表达，更数学化：

$\lim _{n \rightarrow \infty} x$ 不存在，进一步更详细的证明，我们需要引入一个解释：

$\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon$ $\varepsilon$ $\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon$ $x_n$ $a$ 。

即：

\begin{array}{c}\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \\ x_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)\end{array}

例题证明：

证明下列数列极限

2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \frac{3}{4}, \cdots, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}, \cdots

\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}-1\right|=\frac{1}{n}

根据这个式子，

\frac{1}{n}<\varepsilon \quad | \quad n>\frac{1}{\varepsilon}

$\varepsilon$ 的值，我们知道，无论多小的数，只要它是一个实数，那么就有无数个大于它的实数存在。

$\varepsilon$ $｜x_n-a ｜<\varepsilon$ $\frac{1}{n}<\varepsilon \quad | \quad n>\frac{1}{\varepsilon}$ ，这就从数列极限的定义角度做了证明。

$\varepsilon$ ，这时候的取一个n>N，n既然大于N那么他一定大于

$\varepsilon$ ，也就是下式成立：

\frac{1}{n}<\varepsilon \quad | \quad n>N>\frac{1}{\varepsilon}

那么就可以很简单的从数列极限定义的角度证明了他的收敛，到此证毕。

第二个例子：证明

x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}

极限为0.

我们依旧按照数列定义：

\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}-0\right|

$\frac{1}{n^{2}}<\varepsilon$ $n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ $\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ $\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ ，也就是定义式成立，故我们说，这个数列收敛于0，到这里，就完成了对数列极限的证明。

第三个例子：证明

1, q, q^{2}, \cdots, q^{n-1}, \cdots

$|q|<1$

$\left|x_{n}-0\right|=\left|q^{n-1}-0\right|=|q|^{n-1}$ $|q|^{n-1}<\varepsilon$ ，为了将n-1拿出来，我们对两边取对数，得：

$(n-1) \ln |q|<\ln \varepsilon$ ，因为q的绝对值小于1，则ln（q）的值小于0，在移动到右边的过程中，需要变号，整理得：

$n>1+\frac{\ln \varepsilon}{\ln |q|}$ $1+\frac{\ln \varepsilon}{\ln |q|}$ ，总有当n>N的时候，定义式成立，我们找到了这个值，证明完成了。

$\varepsilon$ 的关系，他们之间关系确立以后，证明就差不多完成了。

接下来是收敛数列的四大性质的证明。

高等数学计划·0314 📖

数列极限梳理

例题证明：

第二个例子：证明

第三个例子：证明

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