高等数学计划·0314 📖

Author:张一极

数列极限梳理

通过一道分析,我们来切入性的获取数列极限的意义:

上述数列中,将它转换为另一个等式,,构造了一个新的等式

,观察等式,当n趋于无穷大的时候,我们可以知道的值无限接近于0,此时,无限接近于1,此时我们知道,数列的n取到无穷大的时候,是无限接近于1,于是我们定义为,数列极限就是1,一个常数,或称数列收敛于1。

如果没有这个值,找不到他的极限,那么我们称为这个数列没有极限,或者这样表达,更数学化:

不存在,进一步更详细的证明,我们需要引入一个解释:

里面的a是一个数,是一个很小的数,无论它是任意多小的一个数字,在n>N的范围里,总存在等式成立,那么我们就说,的极限,是

即:

例题证明:

证明下列数列极限

 

根据这个式子,

得到以上两大表达式,在数列极限的定义中,只需要满足一个足够小的的值,我们知道,无论多小的数,只要它是一个实数,那么就有无数个大于它的实数存在。

那么我们只需要证明,对于一定有一个N存在,当数列下标n>N的时候,都有我们的,也就是,这就从数列极限的定义角度做了证明。

对应的我们发现,只要我们取一个N>1/,这时候的取一个n>N,n既然大于N那么他一定大于

1/ ,也就是下式成立:

那么就可以很简单的从数列极限定义的角度证明了他的收敛,到此证毕。

第二个例子:证明

极限为0.

我们依旧按照数列定义:

我们去掉实数部分,转换成另一个式子,,将这个式子转化为左边只有n的存在也就是,这时候,取一个N他的值小于n,而大于,这时候我们知道,n有无数个大于N的情况,那么它一定大于,也就是定义式成立,故我们说,这个数列收敛于0,到这里,就完成了对数列极限的证明。

第三个例子:证明

极限为0,前提:

我们先写出定义式,也就是我们需要去证明的式子,-》,为了将n-1拿出来,我们对两边取对数,得:

,因为q的绝对值小于1,则ln(q)的值小于0,在移动到右边的过程中,需要变号,整理得:

,我们观察发现,取N = ,总有当n>N的时候,定义式成立,我们找到了这个值,证明完成了。

总而言之,我们在整理数列极限的过程中,应该注重挖掘,n和N和的关系,他们之间关系确立以后,证明就差不多完成了。


接下来是收敛数列的四大性质的证明。

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