函数极限

高等数学计划·0316 📖

整理：张一极 2020-0316-24:00

自变量在变化过程中，无限趋近于某一个确定的值，即极限。

如果函数极限存在，那么极限唯一。

极限无穷小的和是无穷小

有界函数*无穷小仍然是无穷小

常数*无穷小，有限个无穷小的乘积依旧是无穷小。

\begin{array}{l}\lim [f(x) \pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A \pm B \\ \lim [f(x) \cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A \cdot B\end{array}

AB为两大函数的极限。

有界的极限乘以一个常数可以变为这个常数，乘以这个有界函数的极限。

n次方的推论也是可以成立的，即一个有界有极限的函数的n次方的极限可以代表一个有界有极限函数极限的n次方。

\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-5 x+3}

先看分母，分母极限非0，根据极限推论：

解：

\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-5 x+3} &=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{3}-1\right)}{\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-5 x+3\right)} \\ &=\frac{\lim _{x \rightarrow 2} x^{3}-\lim _{x \rightarrow 2} 1}{\lim _{x \rightarrow 2} x^{2}-5 \lim _{x \rightarrow 2} x+\lim _{x \rightarrow 2} 3}=\frac{\left(\lim _{x \rightarrow 2} x\right)^{3}-1}{\left(\lim _{x \rightarrow 2} x\right)^{2}-5 \cdot 2+3} \\ &=\frac{2^{3}-1}{2^{2}-10+3}=\frac{7}{-3}=-\frac{7}{3} \end{aligned}

在后续求解中，遇到了新的情况，

分子分母同时为0的情况，无法直接推出结果，进一步的我们可以查看是否有公共因子存在：

如下题：

\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{x^{2}-9}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{1}{x+3}=\frac{\lim _{x \rightarrow 3} 1}{\lim _{x \rightarrow 3}(x+3)}=\frac{1}{6}

另一种情况，原始的函数无法直接获取极限，将其取倒数。

（商的极限法则不受用）

\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-3}{x^{2}-5 x+4}

解：

\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-5 x+4}{2 x-3}=\frac{1^{2}-5 \cdot 1+4}{2 \cdot 1-3}=0

1.直接代入型：

\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}

解：

\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+5\right)}{\lim _{x \rightarrow 2}(x-3)}=\frac{9}{-1}=-9

2.商的极限法则：

\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x+1}=\frac{\lim _{x \rightarrow 1}(x-1)}{\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)}=\frac{0}{2}=0

3.约掉自变量，留下实数：

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{2}-2 x+1}{3 x+2}=\frac{\lim _{x \rightarrow 0}\left(4 x^{2}-2 x+1\right)}{\lim _{x \rightarrow 0}(3 x+2)}=\frac{1}{2}

4.展开约掉其他变量，化简形式后求解：

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(2 x+h)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0}(2 x+h)=2 x

5.和的极限法则，拆分多个函数求解：

\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty}-\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}+\lim _{x \rightarrow \infty^{2}} \frac{1}{x}=2-0+0=2

6.因式分解后求解，依旧是拆分求解：

\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}-5 x+4}=\lim _{x \rightarrow 4} \frac{(x-4)(x-2)}{(x-4)(x-1)}=\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x-2}{x-1}=\frac{\lim _{x \rightarrow 4}(x-2)}{\lim _{x \rightarrow 4}(x-1)}=\frac{2}{3}