高等数学记 📖 极限存在准则

整理:张一极 2020-0321-00:01

第一准则:(夹逼准则)

任意的属于N,当n>,有

两大条件成立,那么xn数列极限存在,并且为a。

推广到函数领域:

 

接下来书里证明了一个重要的极限:

image-20200321231130416

首先,明确两个地方,A是切线,ob是延长线,两者相交于D,BCO是直角三角形,意味着,bco里面,标准的直角三角形,一边为sinx,一边为cosx,剩下的就是tanx:

这里这句话,没必要去懂这个,直接看下一句,aob的小于大于aob扇形,小于三角形aod,故:

为什么呢,因为x限定在了

所以这个式子是一定成立的,我们都知道在四分之一个周期里,这三个函数的排列问题。

如果非得要弄清楚的话,这样解释上面那个不好懂的式子,其实单位圆中,x所对应的角度就是弧度,也就是ab之间的弧度为x,然后同样是斜边为1的直角三角形中,sin = 对边/斜边,所以

同理,

接着要得到tan,使用sinx/cosx,在大的三角形里,也就是aod里面,tanx = da/oa,oa为r=1:

才会有了上面的推论,接着证明的问题转换成了:

两边同时除以sinx,得到:

进一步转化:

或者使用原来的判据,证明1/cos极限为1,原命题即可得证,通过图像可以知道,cos0为1,所以1/cosx,x趋于0的时候,极限为1,原命题得证。

书上的方法是:

用第二个式子:

证明cosx趋于1,在x趋于0的时候。

取了一个三角函数变换:

那么x平方趋于0,在x趋于0的时候,故,cosx在x趋于0的时候,极限是1。

根据夹逼定理,得:

通过这个极限,还可以求出,tanx/x的极限: