数列极限的定义法证明和收敛有界证明

张一极

数列极限证明:

定义法:

1.计算距离:, a为数列极限.

2.计算n的表达式:

3.取N= g()+1(从g( )后一项开始)

例题:

证:

1.计算距离:

2.反解:

3.取时候,往后开始,都有,所以极限得证.

1.

2.

3.往后每一项,极限均成立.

1.

2.两边同时取对数得

3.反解得,去N= ,从这个往后,必有定义成立

定理:

若数列an收敛,则其子列收敛,且极限相同,那么对应的逆反命题就是,只要有一个子列不收敛,那么这个数列就不收敛.

极限+裂项相消

ex:

解:

根据极限存在定理,一个数列单调且有界,则极限存在,目的是证明极限存在,且有界,根据夹逼定理,需要在通项两边进行放缩,根据递推式,可知是单调递增的( >0)

我们只要找出一个可证明的目标上界即可,通过放缩法,缩小分母,那么整个式子一定变大,可得 ,

化简:

因为,则上界为2.

单调,且有界,上界为2.