极限+裂项相消

函数极限的定理证明和例题

张一极
2020-0514-16:41

1.定理:

\begin{array}{c}\text { 定理 } \mathbf{1}(\text { 函数极 } \text { 限的唯一性 }) \quad \text { 如果 } \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \text { 存在 }, \text { 那么这极 } \text { 限唯一 } \\ \text { 定理 } \mathbf{2}(\text { 函数极限的局部有界性 }) \quad \text { 如果 } \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=A, \text { 那 } \text { 么存在常数 } M>0 \text { 和 } \delta \\ >0, \text { 使得当 } 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \text { 时 }, \text { 有 }|f(x)| \leqslant M \\ \text { 证 } \quad \text { 因为 } \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \text { 所以取 } \varepsilon=1, \text { 则 } \exists \delta>0, \text { 当 } 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \text { 时,有 } \\ \qquad \begin{array}{c}|f(x)-A|<1 \Rightarrow|f(x)| \leqslant|f(x)-A|+|A|<|A|+1 \\ \text { 记 } M=|A|+1, \text { 则定理 } 2 \text { 就获得证明. } \\ \text { 定理 } \mathbf{3}(\text { 函数极 } \text { 限的局部保号性 }) \quad \text { 如果 } \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \text { 且 } A>0 \quad(\text { 或 } A<0), \text { 那 } \text { 么 }\end{array} \\ \text { 存在常数 } \delta>0, \text { 使得当 } 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \text { 时 }, \text { 有 } f(x)>0 \quad(\text { 或 } f(x)<0)\end{array}

证明函数局部保号性:

首先,fx的极限A>0

证明:

$\varepsilon>0, \exists\delta>0,都有0<|x-x_0|<\delta,|f(x)-A|<\varepsilon$

$A-\varepsilon<f(x)<A+\varepsilon$

$\varepsilon=\frac{A}{2}$ ,可得:

$\frac{A}{2}<f(x)<\frac{3}{2}A$ $A>0,\frac{A}{2}>0$ $f(x)>0$ .

证毕.

2.函数和导函数唯一有界性的正确结论:

$f(x)^{'}$ 在[a,b]有界,则原函数在[a,b]依然有界:

根据拉格朗日中值定理:

$f(b)-f(a)=f^{\prime}(\delta)(b-a)$ $x_0$ 作为一个值

$f(x)-f\left(x_{0}\right)=f^{'}(\delta)(x-x_{0})\to$

$|f(x)|=| f\left(x_{0}\right) + f^{\prime}(\delta)\left(x-x_{0}\right) |$

由于绝对值不等式|a+b|<=|a|+|b|可得

$|f(x)|=| f\left(x_{0}\right) + f^{\prime}(\delta)\left(x-x_{0}\right) |<=| f\left(x_{0}\right)| + |f^{\prime}(\delta)||\left(x-x_{0}\right)|$ $x-x_0$ $f(x_0)$ $| f\left(x_{0}\right)| + |f^{\prime}(\delta)||\left(x-x_{0}\right)|<=\left|f\left(x_{0}\right)\right|+N \cdot(b-a)$ ,两个有界函数相加,依然是个有界函数,原命题得证.

3.引申出关于函数在某个区间内有界的判断方法

如果是开区间,则计算两端的极限值,再计算函数连续性,如果函数在两端有界且中间闭区间连续,则函数在此区间内有界:

例题:

$f(x)=\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^{2}}$ 的有界区间:(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)

闭区间的连续函数有界,如果是开区间,需要增加定义的是两端有界,中间闭区间连续,则可以证明函数在开区间内有界

所以本题的四个区间,分界点分别是0,1,2,依次写出从不同方向趋近于0,1,2的函数极限值,可得知

$lim_{x\to0^{-}}\frac{(x) \sin (x-2)}{x (x-1)(x-2)^{2}}=-\frac{-\sin 2}{(-1) \cdot 4}$ $x\to0^-$ 是有极限存在的,

$lim_{x\to0^{+}}\frac{(x) \sin (x-2)}{x (x-1)(x-2)^{2}}=\frac{\sin(-2)}{(-1) \cdot 4}$ ,依然是有界的,

$\frac{(x) \sin (x-2)}{x (x-1)(x-2)^{2}}$ 中,x取1时,分母有0项,所以函数极限不存在,同理,取2时,分母依然有0项,函数极限依然不存在,所以边界含有1和2的区间排除, 剩下的就是(-1,0)

进一步书写

$lim_{x\to-1^{+}}\frac{(x) \sin (x-2)}{x (x-1)(x-2)^{2}}\\ \begin{array}{l}=(-1) \frac{\sin (-3)}{(-2) \cdot 9} \\ =-\frac{\sin 3}{18}\end{array}$

因两侧极限存在且函数连续,则在(-1,0)区间内函数有界.命题得证