七种未定式计算🌈

Author:张一极🍯

个人博客:极度空间

公众号:视觉迷航

总$\cdot$未定式的计算两步骤🍋:

1.确定未定式形式,$\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0*\infty,\infty^0,\infty-\infty,0^0,1^\infty$

其中:

$\frac{0}{0}和\frac{\infty}{\infty}$为基本形式.

$0*\infty\to \frac{0}{\infty}\to\frac{0}{0}$

$0*\infty\to\frac{\infty}{\frac{1}{0}}\to\frac{\infty}{\infty}$

$\infty-\infty\to通分,和差化积$

$\infty^0\to e^{0\cdot ln\infty}\to e^{0*\infty}$

$0^0 \to e^{0*ln(0)}\to e^{0*\infty}$

$1^\infty\to e^{\infty*ln(1)}\to e^{\infty*0}$

通通归结为$0*\infty$去化解为基本形式.

2.三种方法如下(附例):

① 剔除极限不为0的因式🍒

例题:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^{x}}{x^{3}}$

$\because lim_{x\to 0}e^x = 1 ~~\therefore \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}\left(e^{\tan x-x}-1\right)}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x-x}-1}{x^{3}}$

优势在于剔除了$e^x$的极限是1

$\because lim_{x\to 0}(e^x -1)= x$

$\therefore \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x-x}-1}{x^{3}}=lim_{x\to0}\frac{tanx-x}{x^3}=\frac{1}{3}$

总结:$e^{g(x)}-e^{g_2(x)}=e^{g_2(x)}[e^{g(x)-g_2(x)}-1]\to g(x)-g_2(x)$

② 等价无穷小替换🍏

$\begin{array}{l}\sin x \sim x, \quad \text { tan } x \sim x, \quad \text { aresin } x \sim x, \quad \text { arctan } x \sim x, \quad \ln (1+x) \sim x, \quad \mathrm{e}^{x}-1 \sim x \\ \quad a^{\prime}-1 \sim x \ln a, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}, \quad(1+x)^{a}-1 \sim a \cdot x\end{array}$

③ 恒等变形🍖

提取公因式,拆项合并,分子分母同除以变量最高次幂,换元法等

$\cdot$举个🌰

1.针对$0\cdot\infty$

例题:

1.$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{100}}$

⚠️换元法:

令$\frac{1}{x}=t$

原式=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{-t}}{t^{-50}}$

根据洛必达法则:

原式=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{50!}{e^{-t}}$

$\dots$

=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{C}{\infty}=0$

2.$\lim _{x\to-\infty} x(\sqrt{x^{2}+100}+x)$

确定未定式类型:

$\because \sqrt{x^2+100}\to+\infty,x\to-\infty$

$\therefore (\sqrt{x^2+100}+x)\to0$

$又\because x\to-\infty$

$\therefore 原式=0\cdot\infty$

$\because a-b =(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

$\therefore \sqrt{x^2+100}+x = \frac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^2+100}-x}$

$\therefore lim_{x\to-\infty}x\cdot\frac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^2+100}-x}$

=$lim_{x\to-\infty}\frac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}$

令$x = -t \therefore t\to+\infty$

⚠️换元:

原式=$lim_{t\to+\infty}\frac{-100t}{\sqrt{t^2+100}+t}$

同除以t得:$lim_{t\to+\infty}\frac{-100}{\sqrt{1+\frac{100}{t^2}}+1}=\frac{-100}{1+1}=-50$

3.$\lim _{x\to1^-} \ln x \ln (1-x)$

通过等价无穷小代换:

$lim_{u\to1}\frac{u}{u-1}=lim_{u\to1}\frac{1}{1}=1$

$lim_{x\to1^-}x-1\cdot ln(1-x)$

令$t = x-1$

原式 = $lim_{t\to0}t\cdot ln(-t)$

=$lim_{t\to0}\frac{-\frac{1}{t}}{\frac{1}{t^2}}$

=$lim_{t\to0}(-t)$

=$0$

2.针对$\infty-\infty$

1.有分母的前提下,先通分,加减变为乘除法,方便运用洛必达等工具.

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{x^{2}}\right)$

解:

首先通分:

= $lim_{x\to0}(\frac{x^2-sin^2x\cdot cos^2x}{sin^2x\cdot x^2}) ~\because sin^2x\to x^2 ,2sinxcosx = sin2x$

$\therefore lim_{x\to0}(\frac{x^2-\frac{1}{4}sin^22x}{x^4})$

第一次洛必达求导:

=$lim_{x\to0}(\frac{2x-\frac{1}{2}sin2x\cdot cos2x\cdot 2}{4x^3})$

=$lim_{x\to 0}(\frac{2x-sin2xcos2x}{4x^3})$

=$lim_{x\to 0}(\frac{2x-\frac{1}{2}sin4x}{4x^3})$

第二次洛必达求导:

=$lim_{x\to 0}(\frac{2-2cos4x}{12x^2})$

=$lim_{x\to 0}(\frac{2(1-cos4x)}{12x^2})$

根据等价无穷小代换:

$\because 1-cosx \to \frac{1}{2}x^2$

$\therefore lim_{x\to 0}(\frac{2(1-cos4x)}{12x^2})=lim_{x\to 0}(\frac{2\cdot \frac{1}{2}(4x)^2}{12x^2})=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$

2.没分母的情况,就用提供公因式,出现分母以后同上.

$\lim \left[x^{2}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)-x\right]$

解:

显然是$\infty-\infty$

提取公因式,进行通分

设$t = \frac{1}{x}$

原式= $lim_{t\to 0^+}[\frac{e^t-1}{t^2}-\frac{1}{t}]$

出现分母以后,通分

得:

原式=$lim_{t\to 0^+}(\frac{e^t-1-t}{t^2})$

这时候⚠️有两种方法:

①.使用泰勒展开式

根据$e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

展开到和分母的幂一样,也就是第三项停下,舍去高阶无穷小

也就是原式中的$e^t = 1+t+\frac{1}{2}t^2+o(t^2)$

代入得 : $lim_{t\to 0^+}(\frac{1+t+\frac{1}{2}t^2-1-t}{t^2})$

=$lim_{t\to 0^+}(\frac{\frac{1}{2}t^2}{t^2})$

=$\frac{1}{2}$

②.使用洛必达法则:

$\because$

原式=$\frac{e^t-1-t}{t^2}'$

=$(\frac{e^t-1}{2t})'$

=$\frac{e^t}{2}$

$\therefore lim_{t\to 0^+}\frac{e^t}{2}=\frac{1}{2}$

3.针对$\infty^0$

$\lim _{x \rightarrow +\infty}(x+\sqrt{1+x^{2}})^{\frac{1}{x}}$

根据$u^v = e^{vlnu}$

原式 $(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}\to$ $e^{\frac{1}{x}\cdot ln(x+\sqrt{1+x^2})}$

接着完全转化为基本形式✅

$e^{\frac{1}{x}\cdot ln(x+\sqrt{1+x^2})}\to e^{\frac {ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x} }$

根据洛必达法则:

第一次求导: $lim_{x\to +\infty}e^{\frac {ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x}}\\=lim_{x\to +\infty}e^{\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1}}$

$=e^0=1$

4.针对$1^\infty$

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^\frac{e}{x}$

=$\lim _{x \rightarrow 0}{e^{\frac{1}{x}\cdot \frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{nx}}{n}}}$

根据等价无穷小变换:

$ln(1+x)\to x$

可得

$ln(x) = ln(1+x-1)\to x-1$

$\therefore \lim _{x \rightarrow 0}{e^{\frac{e}{x}\cdot ln(\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{nx}}{n})}}$

=$lim_{x\to 0}e^{\frac{e}{x}\cdot (\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{nx}}{n}-1 )}$

=$lim_{x\to 0}e^{\frac{e}{x} \cdot \frac{e^x+\cdots +e^{nx}-n}{n}}$

取出固定的数值$\frac{e}{n}$

=$lim_{x\to 0}e^{\frac{e}{n}{\frac{e^x-1}{x}+\cdots }}$

注意⚠️这里依然有两种方法.

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①洛必达:

$lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

$lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2$

$\cdots$

$lim_{x\to 0}e^{\frac{e}{n}{\frac{e^x-1}{x}+\cdots }}=lim_{x\to 0} e^{\frac{e}{n}\cdot (1+2+3+\dots +n)}\\=lim_{x\to 0}e^{\frac{e}{n}\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}}\\=e^{\frac{(n+1)e}{2}}$

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②等价无穷小替换

$lim_{x\to 0}{e^x-1}\to x$

$lim_{x\to 0}e^{\frac{e}{n}{\frac{e^x-1}{x}+\cdots }}=lim_{x\to 0} e^{\frac{e}{n}\cdot (1+2+3+\dots +n)}\\=lim_{x\to 0}e^{\frac{e}{n}\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}}\\=e^{\frac{(n+1)e}{2}}$

也可以得到一样的结果💯

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \tan \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$

令$t = \frac{1}{n}$

= $lim_{n\to \infty}(\frac{tant}{t})^{\frac{1}{t^2}}$

=$lim_{n\to \infty}{e^{\frac{1}{t^2}(\frac{tant}{t}-1)}}$

=$lim_{n\to \infty}{e^{\frac{1}{t^2}(\frac{tant-t}{t})}}$

泰勒展开到第二项

=$lim_{n\to \infty}{e^{\frac{1}{t^2}\frac{\frac{1}{3}t^3}{ t }}}$

=$e^\frac{1}{3}$