涉及小于0的值在极限计算中变号的问题

Author:张一极🍯

个人博客:极度空间

公众号:视觉迷航

典型例题:

$f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}$

我们在这里研究关于$x\to0^-$时候,整个函数的变化情况

先进行基本的化简

$f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}$

=$\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$

=$\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x+1}$

此时的x<0,我们要将他合并入根号下的时候,应当注意符号关系

也就是$x \neq \sqrt{x^2}$

对应的$x=-\sqrt {x^2}$

所以,在此时合并,需要在前加负号

则:

原式=$\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}\right)=-1$

如果是$x\to 0^+$

则无需负号:$\lim _{x \rightarrow 0^{\prime}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}=1$

归结:如果化简后和化简前,存在根号和绝对值,或者平方的情况,应注意是否需要变换符号.

更新于

2020/0524/13:25