导函数求解七宗罪🗡

Author:张一极🍯

个人博客:极度空间

公众号:视觉迷航

1.一段关于自变量的绝对值的问题，一般会出现一个较为关键的点，就是绝对值正负的问题，此时对应的应该将绝对值正负的问题分论而非合为一谈。

$f（x）=|x^3-1|\delta(x)$

获取x在1的时候,导数情况和$\delta(x)$的值

分情况而论,此时的x立方的绝对值可正可负,关键点是1

因为当x<1,$x^3-1<0$

相反$x^3-1>0$

为了计算$f'(1)$的值

$lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

=$lim_{x\to 1}\frac{|x^3-1|\delta(x)-0}{x-1}$

分为两种情况,趋于$1^+$

=$(x^2+x+1)\delta(x)=3\delta(1)---1.1$

趋于$1^-$

=$-(x^2+x+1)\delta(x)=-3\delta(1)---1.2$

如果题目给出$f(x)$在x=1处可导,那么上述1.1和1.2相等,可知$\delta(1)=0$.

反过来也可,从$\delta(1)=0$,两侧极限相同为0推出$f'(1)=0$

2.求$\frac{d^2x}{dy}$,即x对y(反函数)的二阶导,推成$\frac{d\frac{dx}{dy}}{dy}=\frac{d(\frac{1}{f'x})}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}$

也就是针对一阶导对x求一次导,再乘上反函数的一阶导,与链式法则类似.

3.给出某个较为复杂函数,或者并非显式给出函数表达式的情况,以及给了某一个最终的函数值,给出了一阶导数的表达式,一般可以根据一阶导数的表达式,求出二阶导数,进而一推一,用数学归纳法总结规律,代换入题目所有可代换的条件,可以得到在一个n阶导数的表达式(隐式的)

4.某个函数是由原函数确定的一个隐函数,求导一般可以两边同时求导,得到一个关于$y'$的表达式,解出$y'$

5.求反函数的导数,不论是具体某一个值或者无具体给出某个值,第一条思路一般是根据反函数和原函数求导乘积为1,$f'(x)\cdot g'(x)=1$,利用这个等式得到一个有关反函数的n ( n由题目给定 )阶导数的表达式,再反观题目条件是否可以求出具体的值,有则代之,无则另寻他法.

6.分段函数在某个分段点有导数$\to$左右连续,且极限相同(导数定义)

7.较为复杂的表达式,利用极限分解,积的极限等于极限的积,善用等价无穷小代换,善用题目条件,善用极限去求导数,勿忘定义.