中值定理发散

Author:张一极 🔱

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1.罗尔定理

在区间两端的函数极限值趋于同一个数,可以是$f(x)$或者A,则可以确定的是在当前区间内,存在某个值,使得其导数为0,进一步,如果两个导数为同一个值,那么在两个导数作为区间端点的情况里面,一定存在二阶导数为0的情况,以此类推

2.同样的,在两端点导数异号,那么一定也存在ξ,使得导数为0

证明也很简单,假设左侧导数大于0,右侧导数小于0 ,那么对于左侧而言,左端点a的值一定比后面的值小,同理对于右侧而言,左侧的值一定大于右端点b,那么最值一定在(a,b)区间内,有导数为0.

2.柯西中值定理

取两个函数,在a,b区间内可导,且连续,那么一定有一点,在区间内:

满足:

$$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}$$

推广到g(x)设为y=x的情况.即:

$$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(ξ)<br>\to f(a)-f(b) = f'(ξ)(a-b)$$

此式,为拉格朗日中值定理

在题目中,如果存在两数作差,或者导数和函数值的表达式,优先考虑拉格朗日中值定理和柯西中值定理.