不定积分六扇门✨

Author:张一极 🔱

个人博客:极度空间

公众号:视觉迷航

0.积分变换原则

如果是原函数F(x)的x变化,那么对应变化的是积分上限和下限,而如果是换元,变化的

是积分上下限和子函数(积分函数)

子函数以T为周期,那么未必父函数就是以T为周期,需要满足的是

fx是以T为周期,那么可以直接推的是:

通过凑结果,引出导数:

观察式子可以发现,前面的不易求导,后面的容易阿,分步求导,4,,故,有很多没有办法直接反推导数的积分形式,需要从结构方式入手,反推出导数,利用分离法,分离常数或者可微部分.

2.

发现arcsinx和同台,对应的想到的是,即分部积分法

解:

=

=

=

=

最终凑出为了抵消变量,留下常数,同样的其他三角函数都有对应的关键字:

3.有的结构,用换元也可以顺利求导:

可解

通过观察,如果凑,那么必为

,多了一项,那么就需要把他消去,故.

得解:

=

4.移项积分

第一个等号,凑微分得到第二个式子,最终分部积分的过程中,重新计算了dx的值,使分母回到了原积分的次方

继续把含有e的函数按照第一步的方法凑微分,得到第二个等式,继续分部积分法:

发现此时最开始的函数复现了,故停止计算,直接移项:

多次的分部积分,在含有可以互相转换的函数中,会出现函数复现的情况,此时直接停止积分,移项即可.

5.凑出减法分离式,分别积分

通过观察,留出常数,分子可以做一个拆解,,分别约去分母的两个乘积形式的元素

1:

2:

遇到类似情况,分母乘积式,直接做差,如果能配,一定是分别积分.