矩阵/逆矩阵的秩

Author : 张一极

结论:

证明:

1.

a.如果矩阵A的秩为n,即满秩矩阵,说明其行列式非0,即n阶子式不为0,根据伴随矩阵

b.如果,则同理,

2.

c.如果A的秩为n-1,那么可以推出,A必然有非零n-1阶子式,而A的伴随矩阵元素是A中代数余子式的组合,故而A的伴随矩阵的秩必然大于等于1,其次,因为A的任意n-1+1阶子式为0,所以A的伴随是Ax=0的基础解系能线性表示的解,故而A的伴随的秩,小于AX的基础解系的秩(n-r(A)=1),两者一夹:

d.伴随矩阵的秩为1,即有一个元素是非0,映射为原矩阵的某个n-1阶子式,故原矩阵至少有一个子式(n-1)为非0,r(A)>=n-1,而伴随矩阵的秩非n,即原矩阵的秩又小于n-1,两者一夹:

3.

e.因为r(A)<=n-2,故n-1阶子式皆为0,则A的伴随无非零元素,

f.,则反推回的所有代数余子式皆为0,故,即

end.证毕

矩阵等价:

两秩相同

向量组等价:

a.两秩相同,且单方表出(可推双方表出)

若仅仅单方表出,无法代表其双方表出,高维-低维,低维无法cover高维数据.

b.三秩相同(A,B,A|B)