特征值和特征向量

Author:张一极
本文使用的缩写:
$Column_i \to col_i$

1.特征值和特征向量的析出:

\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] \\ \\ 1.Get:|\lambda E-A|'s~values\\|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda\end{array}\right|\\ \because Col_1+Col_2+Col_3\\ \therefore Extract ~the~ common ~values\to\lambda-1 \\ and~ expand~ it~ by ~one~ row\\=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-1\right)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)=0 \\2.Get~the~value~for~feature(\lambda_i=[1,1,-1])

\\Feature ~Matrix \\1.Get~the~equation ~by ~\lambda_1=\lambda_2=1\\(take~in):(1\cdot E-A)=0\\ \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] \\2.we ~can ~get~the ~base~vectors\to[1.0,1]~,[0,1,0] \\3.the ~same~way~for ~\lambda_3=-1: \\(-1\cdot E-A)x=0 \\\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] \\4.base vectors = [1,0,-1]

以上,不同的特征值对应不同的特征向量,即每一个特征值有一个特征向量,二重根作为同一个方程计算得到的向量依旧不同,关于特征值的几点记录:

n阶矩阵对应n个特征值(包括特征值相同)
A为实对称矩阵即A可相似对角化可推A有n个线性无关特征向量
不同特征值对应的特征向量应线性无关，同一特征对应的不同特征向能张成整特征空间
矩阵的所有特征值之和等于该矩阵的主对角线元素之和，这个和数叫做A的迹tr(A)

对于Ax = 0来说，如果A的各列线性无关，即方程组只有一个解(全0)。

$(\lambda \cdot E-A)x=0$ 的各列是线性无关的，意味着只有一个解即x=0。

但是特征向量不能是零向量，意味着方程系数矩阵的各列线性相关，为奇异矩阵。

因此可以得到结论：

det(\lambda \cdot E-A)=0

一个n阶矩阵作为系数,他的秩是r(A),其基础解系个数为n-r(A),基础解系个数,等于对应n重根(lambda),即原方程的λ的某个解的重根个数.

再次:
一个特征值对应一个特征向量

$(nE+A)$ $n_1,n_2,n_3$ $A^*$ 的特征值为:

A^* =\frac{|A|}{A} \\ \lambda_{A^*}=[\frac{|A|}{n_1},\frac{|A|}{n_2},\frac{|A|}{n_3}]

\because |\boldsymbol{A}|=\prod_{i=1}^{3} \lambda_{i} \\ \\n_1\cdot n_2 \cdot n_3=|A| \\Get ~ \lambda_{A^*}=[\frac{|A|}{n_1},\frac{|A|}{n_2},\frac{|A|}{n_3}]

\begin{array}{c|ccccccc}\hline \text { Matrix } & A & k A & A^{k} & f(A) & A^{-1} & A^{*} & P^{-1} A P \\ \hline \text { Feature Values } & \lambda & k \lambda & \lambda^{k} & f(\lambda) & \frac{1}{\lambda} & \frac{|A|}{\lambda} & \lambda \\ \hline \text {Feature Matrix } & \xi & \xi & \xi & \xi & \xi & \xi & P^{-1} \xi \\ \hline\end{array}

$|A^*|=|A|^{n-1}$ $|A|$ $\lambda_i$ $|\boldsymbol{A}|=\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}$ 得到|A|的值,或者A的变换式的结果.

End.
22:25.2020-10-22