级数敛散性问题

Author : 张一极

16:18-20201104

级数的敛散性质

末项消逝的无穷级数之和有时有限而有时无限或不定,即收敛和发散

1.一个$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的级数,假设其收敛于$Sum_{un}$ , 则$\sum_{n=1}^{\infty} tu_n$收敛于$t\cdot sum_{un}$,线性可累乘

2.一个级数的n项后余项(原级数去掉前n项得到的新级数) 收敛,则原级数收敛;

原级数收敛, 其n项后余项亦收敛

3.级数收敛的必要条件,即$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛,则$lim_{x\to \infty}u_n=0$

正项级数的充分必要条件是部分和数列{$S_n$}有界

充分性:

正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}U_n$收敛, 设$S_n$为$u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n$, 可知$S_n$单调递增, 且下界为0.

故$lim_{n\to\infty}S_n$存在,有界

必要性

Sn有界,且单调不减,根据单调有界准则,知道Sn收敛,$lim_{n\to\infty}Sn$有界,可知Sn在趋于无穷,趋于某个值,故收敛.

两个正项级数大的收敛,小的一定收敛,小的发散,则大的必然发散

本论

两个正项级数,从某项起,某个正项级数小于另一个正项级数

1.较大的级数收敛,那么小的级数小于较大的级数,故其一定收敛

2.较小的级数发散,大的级数大于较小的级数,故其一定发散

推论

1.如果N为0,说明$U_n$应该是小于$V_n$的,故其趋于无穷的过程中才会趋近于0,所以$U<V$, V收敛$\to$U收敛.

2. N=+$\infty$, 与1.相反,说明在n趋于无穷的过程中,U是小于V的,故小的发散,大的必发散
3. $0<N<+\infty$ , 两者为等阶(速度)的无穷大, 可知敛散性相同

比值审敛法

设正项级数的比值为$\rho$, 其计算方法:

1.如果$\rho$<1 , 趋于无穷的过程中,$U_{n+1}<U_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}U_n$收敛

证明:取值为$m$,要求$n>m$,此时数列$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$的后m项为$\frac{U_{m+1}}{U_m}$,极限依然为$\rho$,如果我们去掉极限符号,取一个$\eta$, 其中$\eta+\rho=r<1$, 根据极限定义, 存在m<n,使得可知$\frac{U_{m+1}}{U_m}<\rho+\eta=r$(极限) , $U_{m+1}<r*U_m$ , 我们发现,$\because U_{m+1}<rU_m,U_{m+2}<r^2(U_m)\cdots$, 所以$U_m$对应小于项$r U_m$这个以$r$为公比,$r U_m$为首项的等比级数($\gamma_{m}+\gamma^{2} u_{m}+\gamma^{3} u_{m}+\cdots(\gamma<1)$), 等比数列收敛原则可知U收敛( $\rho<1$ ) , 故$U_m \to U_n$收敛(等比数列收敛原则), 而原级数比它多了m个有限数, 故原级数也收敛.[局部收敛,整体收敛,整理收敛,局部收敛 ]

2.如果$\rho>1$,则原级数发散

证明: 由必要条件可知,原级数若收敛必有$lim_{n\to\infty}U_n=0$, 而我们取某个数ξ$,使得$\rho-ξ>1$, 由极限定义,可知$\frac{u{n+1}}{u{n}}>\rho-ξ>1$,$U{n+1}>U_n$, 故$\lim _{n \rightarrow \infty} u{n} \neq 0$.

3.$\rho=1$, 无法判断

根值审敛法

一正项级数,如果$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\rho$

1.$\rho<1$则原级数发散

2.$\rho>1$,原级数发散

3.$\rho=1$,无法判别

证明:与比值审敛法类似,略

莱布尼兹判别法(交错级数)

单调不增且极限为0:

$(1) u_{n}>0;\\(2) u_{n} \geq u_{n+1}\\(3) \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$

则$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$收敛,且$0 \leq \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n} \leq u_{1}$

如果任意项级数(各项正负是否为0无特定要求),此时加上绝对值,作为正项级数去做判断, 加上绝对值后的正项级数收敛,则称为绝对收敛, 如果原级数收敛,但是绝对值级数发散,称为条件收敛

End.变换后的正项级数绝对收敛,原级数必收敛

Q&A(来自网络整理)

1．对于正项级数，如何选择恰当的敛散性判别法？

[答]：

（1）首先如果通项不趋向于0，则级数肯定发散。

（2）考虑部分和是否关于n有界，如果有界则收敛，如果无界则发散。

（3）一般说来，如果正项级数的通项中含有阶乘，指数函数，幂指函数等因式，则一般首先考虑使用比值判别法。

（4）如果正项级数的通项中含有指数函数，幂指函数等因式，但不含义阶乘，那么可以考虑使用根值判别法。

（5）对于以n的幂有理式为通项的正项级数，不管是整数幂还是分数幂，由于n趋向于无穷大时，通项关于无穷小1/n的阶比较容易观察，因此一般考虑使用和p级数作比较。

（6）如对于通项为幂有理式的级数，由于前后两项的比值的极限或者通项n次根的极限都是1，所以比值判别法或者根值判别法都会不起作用，不过，如果通项另外还带有幂有理因式，则这两种判别法都还是有用的。

2把初等函数展开为幂级数的方法。

[答]：

一般常用的方法有：

（1）通过把函数进行变换，转换，从而尽量作到能够利用已知的展开式。

（2）运用逐项积分或者逐项微分法来展开。

（3）运用待定系数法。

（4）计算某些特定点的各阶导数，然后利用泰勒级数来展开。

（5）运用级数的运算法则，从已知的级数展开式得到要求的级数展开式。

如果一个任意项级数不是绝对收敛的，那么它是否一定是发散的？

[答]：不对。

初学者往往因为绝对收敛就一定收敛而得到绝对收敛与收敛等价的错误印象，实际上，绝对收敛是收敛的充分条件，而不是必要条件，因此反过来说是错误的，正因为这点，才有了条件收敛的概念，因此我们应该认真体会这点，才能很好地理解条件收敛的概念，而条件收敛对于初学者来说，是比较困惑人的。

End

19:35-20201107