多维随机变量及其分布

23:12-1122
全文3286字,仅供参考
Author:张一极

f_{X}(u)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) d v

\begin{aligned} P\left(x_{1} \leq X \leq x_{2}\right) &=P\left(x_{1} \leq X \leq x_{2},-\infty<Y<+\infty\right) \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{x_{1}}^{x_{2}} f(u, v) d u d v \\ &=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{X}(u) d u \end{aligned}

\begin{array}{l}F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) d v d u \\ f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, v) d v \\ F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) d u d v \\ f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, y) d u\end{array}

二维随机变量分布函数与边缘分布函数的转化:

F(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\lambda_{1} x}-\mathrm{e}^{-\lambda_{t} y}+\mathrm{e}^{-\lambda_{1} x-\lambda_{1} y-\lambda_{u} \max (x, y\}}, & \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{12}>0, x>0, y>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.

$+\infty$ $\lim _{y \rightarrow+\infty}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda_{1} x}-\mathrm{e}^{-\lambda_{2} y}+\mathrm{e}^{-\lambda_{1} x-\lambda_{1} y-\lambda_{1} \max (x, y\}}\right)=1-\mathrm{e}^{-\lambda_{1} x}$

$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda_{1} x}-\mathrm{e}^{-\lambda_{1} y}+\mathrm{e}^{-\lambda_{1} x-\lambda_{2} y-\lambda_{14} \max (x, y)}\right)=1-\mathrm{e}^{-\lambda_{i} y}$ ,对x取极限即得

二维联合分布密度函数与边缘密度函数的转化

原本的定义为:

f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y, x \in \mathrm{R} \\f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x \cdot y) \mathrm{d} x, y \in \mathrm{R}

其意义就是,求具体函数下的某个变量在整个定义域内的积分情况,最后会得到一个关于要求的某个变量的函数,求x得x,求y得y(求x积y,求y积x保证)

由已知联合概率密度,求x和y的边缘概率密度,定义范围(0<x<y)

对应图像:

求x边缘密度函数,应该对y进行积分

$[0,+\infty]$ $[x,+\infty]$ $f_{X}(x)=\int_{x}^{+\infty}f(x,y) \mathrm{~d} y$ ,本质上是对y取所有范围内的数进行积分,与求分布函数区别在于,分布函数求法是求y趋于极限的结果

求y边缘密度函数,对x进行积分

$[0,y]$

$f_{Y}(y)=\int_{0}^{y} f(x,y) \mathrm{~d} x$

范围规划见上图

总结:对于边缘概率密度的求解,应该注意的问题是,当xy存在不等关系的时候,应该作图去了解上下限的情况,而非一并代入计算,对y的积分(求x边缘密度函数)就看y轴的起落位置,对x的积分(求y边缘密度函数)看x轴的起落位置

概率密度求参数

从整个实数域内进行积分,如果一个分量(x或y)的范围确定为常数,那么放在后积,不然你积分出来的部分是会有带变量的表达式,无法得到一个确定值.

求P{xxx}的概率,在原先图像的基础上,划分出新区域,在这个区域上进行积分,得到的积分结果就是概率

离散和连续混合概率

将离散枚举,每一个乘上对应连续概率的条件概率,条件即离散所取值,再把条件代入连续的表达式

$P\{Y=-1\}=\frac{1}{4}, P\{Y=1\}=\frac{3}{4}$ :

\begin{aligned} P\{X Y \leqslant 2\} &=P\{X Y \leqslant 2, Y=1\}+P\{X Y \leqslant 2, Y=-1\} \\ &=P\{X \leqslant 2, Y=1\}+P\{-X \leqslant 2, Y=-1\} \\ &=P\{Y=1\} P\{X \leqslant 2\}+P\{Y=-1\} P\{X \geqslant-2\} \end{aligned}

独立且同分布

有相同分布关系,分布函数,且相互取值不受影响的变量分布关系

卷积公式

$Z=X+Y$

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) \mathrm{d} y

$Z=X-Y$

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, x-z) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} f(y+z, y) \mathrm{d} y \stackrel{\text { 独立 }}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(y+z) f_{Y}(y) \mathrm{d} y

$Z=XY$

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} f\left(x, \frac{z}{x}\right) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|y|} f\left(\frac{z}{y}, y\right) \mathrm{d} y

$\frac{X}{Y}=Z$

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y| f(y z, y) \mathrm{d} y

Reference :
[1] http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
[2] https://zh.wikipedia.org/wiki/
[3] https://www.shuxuele.com/

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晚安