曲线和空间

Author：张一极
20201202-11:16

引言：
一切二重积分和一重积分的区别，都只是差了一个被积函数，即一个一重积分把被积函数退回积分形式，即二重积分，二重积分的被积函数，退回积分形式，得到的是三重积分
所谓轮换对称性：
$x^2+y^2=1$ ，此时具有轮换对称性：
$\begin{equation} \iint_{D} f(x, y) d \delta=\iint f(y, x) d \delta=\frac{1}{2}\left[\iint f(x, y)+f(y, x)\right] d \delta \end{equation}$

曲面方程计算：

曲面方程计算流程（图丑）

三重积分

三重积分，整理归纳部分依然是积分区域而不是被积函数，其被积函数的含义只是这个空间物体的密度
二重积分，整理归纳部分是积分区域，和被积函数无关，其积分区域代表区域面积，被积函数的含义表示高度，最终结果为空间物体的体积
一重积分，整理归纳部分是积分区域，和被积函数无关，其积分区域代表宽度，被积函数代表高度，最终结果为平面图形的面积

直角坐标系和柱面坐标系的计算：

先投影后穿线法

I=\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(1+x+y+z)^{3}}

先投影，指的是，将积分空间投影到xoy面上，得到一个平面，这个平面作为后积分的部分，写在前面，后面是从xoy出发，生成一条射线，向上沿着z轴穿过整个积分区域，先遇到的为下限，后遇到的为上限，

\begin{equation} \iint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iint_{D_{n}} \mathrm{~d} \sigma \int_{x_{1}(x, y)}^{x_{1}(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z \end{equation}

$\begin{equation} \int_{x_{1}(x, y)}^{z_{1}(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z \end{equation}$

$f（x，y，z）$ 反推原函数一步步拆解出最终结果。

投影穿线法适用于侧面为柱体或者无侧面（直接上曲面接着下曲面的类型）空间物体计算三重积分

对于不好做图的图形，应该首先确定他的上下曲面，即平行于某个轴的曲面，如果积分区域存在平行于z轴的函数（自变量没有z即平行于z轴），则我们应该忘xoy面投影（平行于z轴）相应的，自变量有z的部分，应该就是我们要找的关于z的上下限（曲面上下限），从下往上穿线，先交的是下限，后交为上限，做z的定积分，得到关于xy的函数，再在投影面上做xy的二重积分，可解

先定限后截面法

适用于上下曲面为平面的旋转体或者中间截面面积好求的积分区域。

\begin{equation} \iiint_{a} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_{0}^{b} \mathrm{~d} z \iint_{0 .} f(x, y, z) \mathrm{d} \sigma \end{equation}

EX：

\begin{equation} \iint_{\Omega} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} v, \text { 其中 } \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1 \end{equation}

$\begin{equation} x^{2}+y^{2} \leq 1-z^{2} \end{equation}$ $\sqrt {1-z^2}$ 的圆域，即这个球体在垂直于z轴的切面作用下的截面。

$\sqrt {1-z^2}$ 的圆的面积。

\begin{equation} \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{\mathrm{l} z 1} \mathrm{~d} v=2 \iint_{\vec{a}} \mathrm{e}^{z} \mathrm{~d} v=2 \int_{0}^{1}\left(\iint_{D_{j}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right) \mathrm{e}^{z} \mathrm{~d} z \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} 2 \int_{0}^{1}\left(\iint_{D_{j}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right) \mathrm{e}^{z} \mathrm{~d} z=& 2 \pi\left(\int_{0}^{1} e^{z}\left(1-z^{2}\right) d z\right) \\ =& 2 \pi\left(\int_{0}^{1} e^{z} d z-\int_{0}^{1} e^{z} z^{2} d z\right) \\ =& 2 \pi\left(e-1-\int_{0}^{1} z^{2} d e^{z}\right) \\ =& 2 \pi\left[e-1\left[e-2\left(e^{2} z |_{0}^{1}-\int_{0}^{1} e^{2} d z\right)\right]\right] \\ =& 2 \pi[e-1[e-2]] \\ =& 2 \pi \end{aligned} \end{equation}

柱面坐标系

$\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}\right. \end{equation}$ $\begin{equation} \iint_{D_{n}} d \sigma \end{equation}$ $\begin{equation} \iint_{a} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{a} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z \end{equation}$

柱面坐标系一般在投影穿线法中应用，较为简单合理方便计算，极坐标的形式表示后面两步积分。

球面坐标系

$f（x^2+y^2）/f(x^2+y^2+z^2)$ $x^2+y^2$ 类似形式的话我们会得到一个相对简洁的表达式，去做积分。

球面积分步骤：

$\theta$ $\varphi$ $dr$

图片来源：https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxuexia/lesson/9.5jisuansanchongjifen.htm

$dv=r^2sin\varphi dr$

2.换x,y,z：

\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi \end{array}\right. \end{equation}

3.逐层求定积分得到最后结果

\begin{equation} \iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi d r d \varphi d \theta \end{equation}

定限问题：

(1)从原点出发画一条半射线 (取值范围 $(0,+\infty))\left\{\begin{array}{l}\text { 先碰到 } \Omega, \text { 记 } r_{1}(\varphi, \theta) \text { , } \\ \text { 后离开 } \Omega, \text { 记 } r_{2}(\varphi, \theta) .\end{array}\right. \\(2)顶点在原点,以 z 轴为对称轴的圆雉面半顶角(取值范围 [0, \pi])\left\{\begin{array}{l}\text { 先碰到 } \Omega, \text { 记 } \varphi_{1}(\theta) \text { , } \\ \text { 后离开 } \Omega, \text { 记 } \varphi_{2}(\theta) .\end{array}\\（3） 过z轴的平面，转一圈，先碰到的即\theta_1,后碰到的为\theta_2，总范围为[0,2\pi](一圈)\right.

\begin{equation} \begin{aligned} \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v &=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta \\ &=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}(\theta) \mathrm{d} \varphi \int_{r_{1}(\varphi, \theta)}^{r_{2}(\varphi, \theta)} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \end{aligned} \end{equation}

第一型曲线积分计算：

$f（x，y）$ $\begin{equation} A=\int_{C} f(x, y) d s \end{equation}$ $f（x，y）$ $ds$ 就是弧微分。

第一型曲线积分与方向无关：

\begin{equation} \int_{A B} f(x, y) d s=\int_{B A} f(x, y) d s \end{equation}

可叠加：

\begin{equation} \int_{C}[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] d s=\alpha \int_{C} f(x, y) d s+\beta \int_{C} g(x, y) d s \end{equation}

\begin{equation} \int_{C} f(x, y) d s=\int_{C_{1}} f(x, y) d s+\int_{C_{2}} f(x, y) d s \end{equation}\\ C=C_1+C_2

计算

被积区域为参数方程形式：

\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right. \end{equation}

$x（t）与y（t）$ 均有连续导数

\begin{equation} \int f(x, y) d s=\int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t)) \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} d t \end{equation}

$\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} d t$ 为弧长微元。

$y=y（x）$

\begin{equation} \int_{C} f(x, y) d s=\int_{a}^{b} f(x, y(x)) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x \end{equation}

$\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x$

$\begin{equation}r=r(\theta)(\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta)\end{equation}$ ，积分微元换为

\begin{equation} \mathrm{d} s=\sqrt{[r(\theta)]^{2}+\left[r^{\prime}(\theta)\right]^{2}} \mathrm{~d} \theta \end{equation}

：

\begin{equation} \int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{a}^{\beta} f[r(\theta) \cos \theta, r(\theta) \sin \theta] \sqrt{[r(\theta)]^{2}+\left[r^{\prime}(\theta)\right]^{2}} \mathrm{~d} \theta \end{equation}

第一型曲面积分

第一型曲面积分本质上是二重积分的推广，二重积分推广得到第一型曲面积分，目的是求某个曲面的质量

$\Sigma$ $($ $x O y$ $)$ $\Rightarrow$ $D\left(\right.$ $\left.D_{x y}\right)$ $z=z(x, y)$ $F(x, y, z)=0$ $f(x, y, z)$ $z_{x}^{\prime}, z_{y}^{\prime} \Rightarrow \mathrm{d} S=\sqrt{1+\left(z_{x}^{\prime}\right)^{2}+\left(z_{y}^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $x, y$ $)$ ,得到

\begin{align*} \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+\left(z_{x}^{\prime}\right)^{2}+\left(z_{y}^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \end{align*}

曲线积分应用：

重心，形心

曲线积分：

$\bar{x}=\frac{\int_{L} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} s}{\int_{L} \rho(x, y, z) \mathrm{d} s}, \quad \bar{y}=\frac{\int_{L} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} s}{\int_{L} \rho(x, y, z) \mathrm{d} s}, \quad \bar{z}=\frac{\int_{L} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} s}{\int_{L} \rho(x, y, z) \mathrm{d} s}$

曲面积分：

$\bar{x}=\frac{\iint_{\Sigma} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} S}{\iint_{\Sigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d} S}, \quad \bar{y}=\frac{\iint_{\Sigma} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} S}{\iint_{\Sigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d} S}, \quad \bar{z}=\frac{\iint_{\Sigma} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} S}{\iint_{\Sigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d} S}$

空间物体：

$\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}，\bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}，\bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

形心的概念一般是跟着不同的坐标轴得到的不同结果，类似于转动惯量

$\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$ 密度为1的时候，得到的即形心，（空间物体）

$z=\frac{\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} d v}$

其余轴的位置形心同理。

转动惯量

关于曲线的xyz轴和原点的转动惯量计算：

$I_{x}=\int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} s, \quad I_{y}=\int_{L}\left(z^{2}+x^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} s$ $I_{z}=\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} s, \quad I_{O}=\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} s$

$\rho(x, y)$ ，与z轴无关：

$I_{x}=\iint_{D} y^{2} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, \quad I_{y}=\iint_{D} x^{2} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, \quad I_{O}=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$

关于曲面空间物体的转动惯量计算：

$I_{x}=\iiint_{\Omega}\left(y^{2}+z^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, \quad I_{y}=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+x^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v$ $I_{z}=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, \quad I_{0}=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v$

引力密度

$\rho(x, y, z), \Omega$ $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ $m$ $\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ 公式为：

$F_{x}=G m \iint_{\Omega} \frac{\rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} v$

$F_{y}=G m \iiint_{\Omega} \frac{\rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} v$ $F_{z}=G m \iiint_{\Omega} \frac{\rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} v$

$L$ $\rho(x, y, z)$ $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ $m$ $\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ 公式为：

$\begin{array}{l} F_{x}=G m \int_{L} \frac{\rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} s \\ F_{y}=G m \int_{L} \frac{\rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} s \\ F_{z}=G m \int_{L} \frac{\rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} s \end{array}$

$\Sigma,$ $\rho(x, y, z),$ $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ $m$ $\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)$ 公式为：

$\begin{array}{l} F_{x}=G m \iint_{\Sigma\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} S \\ F_{y}=G m \iint_{\Sigma\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} S \\ F_{z}=G m \iint_{\Sigma} \frac{\rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} S \end{array}$

第二型曲线积分：

计算

直接转化为定积分

$\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}(t: \alpha \rightarrow \beta)\right.$ $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{a}^{\beta}\left\{P[x(t), y(t)] \cdot x^{\prime} {(t)}+Q[x(t), y(t)] y^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t$

格林公式

向量在面上的积分等于它在面的边界线上的积分，一个闭曲线围成一个面，变力沿着这个面的边边走一圈做的功应该和把这个面分成很多块每块都沿相同顺或逆时针方向变力走一圈做的功的和

\oint_{C} P d x+Q d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y$

第二型曲面积分

计算

转化为二重积分

$\Sigma$ $x O y$ $)$ $\Rightarrow$ $D\left(\right.$ $\left.D_{x y}\right)$ ;

$z=z(x, y)$ $F(x, y, z)=0$ $R(x, y, z)$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ $\pm \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ $\Sigma$ $z$ 轴夹角为锐角)时取“十”,否则取“ー"

$\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pm \iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

高斯公式

研究空间闭区域的三重积分和其边界曲面上的曲面积分的关系

$\Omega$ $由分片光滑的闭曲面$ $\Sigma$ $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则有公式

$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d v=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x+R d x d y$ or

$\quad \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d v$ $\quad=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S$

$\Sigma$ $\Omega$ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ $\sum$ $(x, y, z)$ 处的法向量方向余弦.

空间第二型曲线

斯托克斯公式

需要：

$\Sigma$ $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量(垂直于该点切平面的向量)为

\boldsymbol{n}=\left(F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{z}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)

$\quad$ $\Omega$ $\Sigma$ $\Omega$ $l$ $\Sigma$ $\Sigma$ $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ $R(x, y, z)$ $\Omega$ 内具有连续的一阶偏导数,则有斯托克斯公式:

$\oint_{I} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right| \mathrm{d} S$

代入以后，按照第一行展开得到对应的偏导数情况，最后计算即可。

问题集合：

$\Sigma$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,$ $\iint_{\Sigma} x(4 x-z) \mathrm{d} S=$
$\Sigma$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ $\oiint_{\Sigma} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
$x^2+y^2+z^2$ $a^2$ ，只有他们在整个区域上相同的时候才可以直接换元)