欧拉公式的一般式推广：

Author：张一极
date：2022年11月13日08:41:53

本文目的：

$e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$

$e=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ from 维基百科

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} ∵ e^{\ln {(1 + \frac{x}{n})}^{n}} = e^{n \ln (1 + \frac{x}{n})} \end{matrix} \end{matrix}

将极限带入：

\begin{matrix} (2) & ∴ lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = lim_{n \to + \infty} e^{n \ln (1 + \frac{x}{n})} \end{matrix}

把极限换到幂（常数为底）：

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} ∴ e^{lim_{n \to + \infty} \ln (1 + \frac{x}{n})} = e^{lim_{n \to + \infty} \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{1}{n}} \end{matrix} \end{matrix}

洛必达法则（L'Hopital Rule），上下同时求导：

\begin{matrix} (4) & 原 式 = lim_{n \to + \infty} \frac{(\frac{- x}{n^{2}}) \frac{1}{1 + \frac{x}{n}}}{- \frac{1}{n^{2}}} \end{matrix}

TO:↓

\begin{matrix} (5) & ∴ 原 式 化 简 后 = e^{lim_{n \to + \infty} \frac{x}{1 + \frac{x}{n}}} = e^{x} \end{matrix}

以上，可知：

\begin{matrix} (6) & lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{x} \end{matrix}

推广到复数领域：

\begin{matrix} (7) & e^{i π} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{i π}{n})}^{n} \end{matrix}

$\left(1+\frac{i \pi}{n}\right)$ $arctan(\frac{\pi}{n})$ ,当n趋于无穷时，arctan(0) = 0.

$n \rightarrow \infty$ $\left(1+\frac{i \pi}{n}\right)^n$ 为非负数，故其将收敛在到达非负域之前：

由此可知：

\begin{matrix} (8) & e^{i π} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{i π}{n})}^{n} = - 1 \end{matrix}

$\pi$ $\theta$ ：

\begin{matrix} (9) & e^{i θ} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{i θ}{n})}^{n} \end{matrix}

$\frac{\theta}{n}$ $\theta$ ，

此时复平面上的点，即为

\begin{matrix} (10) & \cos θ + i \sin θ \end{matrix}

由此我们可以证明：

\begin{matrix} (11) & e^{i θ} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{i θ}{n})}^{n} = \cos θ + i \sin θ \end{matrix}

完成了实数平面到复平面的转换。