概率论-1

Author : 张一极
13:20-20201029

明确

在开始概率论的描述之前,我们统一一个共识,概率论部分,本质上是在寻找某个样本空间的某个可概括的样本个数,占总体样本的比例,即可以用事件做加减法得到需要的样本个数,除以样本空间总数,即为概率.

一.古典概型:

1.有限样本空间

2.样本发生可能性一样

假设基本事件为n,事件A包含k个基本事件,A的概率为:

\frac{num_A}{n}

$num_A$ 是A代表的基本事件,计算出的概率为A的古典概率.

二. 几何概型

随机现象的概率模型为几何概型:

1.样本空间可度量

2.样本落入某个可度量的子区域S的可能性和S的几何特征成正比,与位置无关

其概率为

P(A)=\frac{S_A的几何度量}{总体的几何度量(面积等可度量元素)}

三.基本性质

$0≤P(A)≤1$ $P(A-B)=P(A)-P(B),P(B)>=P(A)$

$P(\bar{A})=1-P(A)$

3.任意两个事件:

$P(A \bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

本质上是A的事件总数加上B的事件总数,减去两者重叠的事件数目的一倍(总共有两倍,减去一倍以后,类似去重操作),即为两者合并的事件总数.

$P(A \bar{B})=P(A)-P(A B)$

$A\overline B$ 的部分,所以必须减去的是,A发生,且B发生的情况数目,即为剩下的A发生,B互斥发生的情况总数,得到与整个样本空间的比例,即为概率

4.三事件并集:

P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right)\\=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)-\\P\left(A_{1} A_{2}\right)-P\left(A_{1} A_{3}\right)-P\left(A_{2} A_{3}\right)+P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)

$P(B|A)$ .

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

本质上是AB同时发生的事件总数除以B事件总数,即AB同时发生的事件总数,占只有B发生的事件总数的比例,得到一个新总数,这个新总数在整个样本空间下的比例,即条件概率.

$P(A)>0\therefore P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$

本质上是由条件概率公式转化而来

$P(A_1\cdots A_n-1)>0$

\therefore P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right) \\\cdots P\left(A_{n} \mid A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1}\right)

8.全概率公式:

多个事件组合成一个总体的样本空间,某个事件发生概率(不好计算的概率)为这个事件在所有事件发生前提下发生的条件概率之和,即:

B=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} B, \quad P(B)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) P\left(B \mid A_{i}\right)

9.贝叶斯公式

$A_i$ $P(A_i)>0$ $P(B)>0$ ,就有:
$P(A_j|B)=\frac{P\left(A_{j}\right) P\left(B \mid A_{j}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) P\left(B \mid A_{i}\right)}(j=1,2, \cdots, n)$
其中i和j为互不同时成立事件

简单来说:

一个事情发生在某一条件下发生的概率,等于这个事情一般情况下发生的概率乘以这个条件发生的概率,除以的分母,由两部分组合,一个是分子,另一个是剩下的其他条件下发生这个事情的概率(等于其他情况下发生这个事情的概率,乘以发生其他情况的概率),二者之和组成分母.

四.事件独立性

两个事件不相互影响,称为独立事件,即:

P(AB)=P(A)*P(B)

五.n重伯努利实验

$\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}(k=0,1, \cdots, n)$ .

六.一些tricks

A-B=A* \overline B\to A除去B的部分,即A和B以外的样本空间乘积 \\\overline {(B*\overline C)}\to \overline B\bigcup C \\某个事件乘以某个事件的反事件,表示为第一个事件减去第二个事件的正事件.

(A-B) \cup B=A \bar{B} \cup B=(A \cup B)(\bar{B} \cup B)=A \cup B

$A$ $\overline B$ $B$ 并上再求乘积.

End
23:13-20201029
晚安~